Konfidenzintervall-Rechner
Fügen Sie Rohdaten ein oder geben Sie Kennwerte ein; Sie sehen das Konfidenzintervall, die Fehlerspanne und den kritischen Wert für Mittelwert, Anteil und Differenz zweier Mittelwerte. Vergleichen Sie das Wilson-Intervall mit dem Wald-Intervall nebeneinander, um zu sehen, warum Wald zu kurz greift, und verfolgen Sie das Intervall im Diagramm.
Trennen Sie Werte durch Zeilenumbrüche, Leerzeichen, Tabulatoren oder Semikolons (eine aus Excel kopierte Spalte funktioniert). Als Dezimalzeichen sind Komma oder Punkt möglich; geben Sie keine Tausendertrennzeichen ein. Teile, die keine Zahlen sind, werden übersprungen.
Die Berechnung läuft in Ihrem Browser; die eingefügten Daten werden nirgendwohin gesendet.
Geben Sie ihn an, wenn Sie die Stichprobe ohne Zurücklegen aus einer begrenzten Grundgesamtheit gezogen haben und n mehr als 5 % von N beträgt; bleibt das Feld leer, gilt die Grundgesamtheit als unendlich.
Geben Sie Daten ein oder laden Sie das Beispiel.
Möchten Sie Ihre Umfrage-, Qualitätsstichproben- oder Experimentergebnisse mit verlässlichen Intervallen berichten? Schauen wir gemeinsam darauf.
Gespräch anfragen01
So geht's
A
Wählen Sie, wofür das Intervall gilt (Mittelwert, Anteil oder Differenz zweier Mittelwerte); fügen Sie Rohdaten ein oder geben Sie Kennwerte ein.
B
Wählen Sie das Konfidenzniveau (90 %, 95 %, 99 % oder eigenes); geben Sie N an, wenn die Grundgesamtheit begrenzt ist, und beim Mittelwert σ, wenn es bekannt ist.
C
Lesen Sie Intervall, Fehlerspanne und kritischen Wert ab; beim Anteil vergleichen Sie Wilson und Wald, sehen Sie im Diagramm die Lage des Intervalls an und kopieren Sie das Ergebnis.
02
Was sagt ein Konfidenzintervall aus, und was nicht?
Ein Konfidenzintervall ist ein Band plausibler Werte für eine Unbekannte (Mittelwert, Anteil, Differenz), geschätzt aus einer Stichprobe. 95 % Konfidenz bedeutet, dass das Verfahren langfristig in 95 % der Fälle Intervalle erzeugt, die den wahren Wert enthalten. Für das einzelne Intervall in Ihrer Hand zu sagen, „der wahre Wert liegt mit 95 % Wahrscheinlichkeit hier“, ist eine falsche Lesart; der wahre Wert steht fest, das Intervall wechselt von Stichprobe zu Stichprobe.
Die Breite des Intervalls misst die Unsicherheit. Mehr Beobachtungen verkleinern den Standardfehler: Um das Intervall zu halbieren, brauchen Sie etwa die vierfache Stichprobe. Ein höheres Konfidenzniveau (99 % statt 95 %) verbreitert das Intervall; mehr Sicherheit kostet ein weniger genaues Intervall.
03
Mittelwert und Differenz: t oder z?
Kennen Sie die Standardabweichung der Grundgesamtheit nicht (fast immer der Fall), wird die Stichproben-Standardabweichung verwendet, und der kritische Wert stammt aus der Student-t-Verteilung mit n − 1 Freiheitsgraden. In kleinen Stichproben liefert die t-Verteilung ein breiteres Intervall als z; das berücksichtigt, dass auch die Standardabweichung geschätzt wird. Mit wachsendem n nähern sich t und z an.
Ist σ tatsächlich bekannt (etwa die dokumentierte Streuung eines kalibrierten Messgeräts), wird das z-Intervall verwendet. Bei der Differenz zweier unabhängiger Mittelwerte ist Welch voreingestellt; es setzt keine gleichen Varianzen voraus und bestimmt die Freiheitsgrade nach der Welch-Satterthwaite-Formel. Enthält das Intervall null nicht, ist die Differenz auf demselben Niveau signifikant.
04
Anteil: Wilson und die Schwäche von Wald
Das Wald-Intervall p̂ ± z·√(p̂(1−p̂)/n) ist in Lehrbüchern verbreitet, weil es einfach ist, aber nicht verlässlich. Bei kleinem n oder wenn p̂ nahe 0 oder 1 liegt, kann die tatsächliche Überdeckung deutlich unter dem genannten Niveau liegen; bei p̂ = 0 kollabiert das Intervall auf einen einzigen Punkt („keine Fehler“ heißt nicht „keine Unsicherheit“), und seine Enden können außerhalb von 0–1 liegen.
Das Wilson-(Score-)Intervall liefert aus derselben Eingabe eine viel genauere Überdeckung, bleibt innerhalb von 0–1 und ergibt selbst bei p̂ = 0 eine sinnvolle Obergrenze: Bei n = 10 und ohne Fehler liegt die 95-%-Obergrenze bei rund 27,8 %. Deshalb zeigt das Werkzeug beide nebeneinander und empfiehlt Wilson. Bei sehr kleinem n oder extremen Anteilen ist ein exaktes (Clopper-Pearson-)Intervall noch sicherer; dieses Werkzeug berechnet es nicht.
Häufige Fragen
- Bedeutet ein 95-%-Konfidenzintervall, dass der wahre Wert mit 95 % Wahrscheinlichkeit darin liegt?
- Nein, das ist eine sehr verbreitete Fehldeutung. Die 95 % sind die langfristige Erfolgsquote des Verfahrens, das das Intervall erzeugt hat: Würden wir das Vorgehen oft wiederholen, enthielten etwa 95 % der Intervalle den wahren Wert. Für das einzelne Intervall in Ihrer Hand liegt der wahre Wert entweder darin oder nicht; die Wahrscheinlichkeit gehört zum Verfahren, nicht zum Intervall.
- Was kann ich tun, um das Intervall zu verengen?
- Vergrößern Sie die Stichprobe oder machen Sie die Daten weniger streuend (bessere Messung). Die Breite sinkt grob mit 1/√n: Zum Halbieren braucht es die vierfache Zahl an Beobachtungen. Ein niedrigeres Konfidenzniveau verengt das Intervall ebenfalls, ist aber trügerisch, weil Sie nur akzeptieren, sich weniger sicher zu sein.
- Soll ich für einen Anteil Wilson oder Wald verwenden?
- Wilson. Wald liefert nur bei großem n und mittlerem p̂ (n·p̂ und n·(1−p̂) mindestens 10) vernünftige Ergebnisse; in kleinen Stichproben oder bei extremen Anteilen liegt sein wahres Konfidenzniveau unter dem genannten. Wald wird gezeigt, damit Sie mit Quellen vergleichen können.
- Wann soll ich zwischen t und z wählen?
- Verwenden Sie t, wenn Sie σ nicht kennen, was bei fast allen realen Daten der Fall ist. z ist nur richtig, wenn die Standardabweichung der Grundgesamtheit verlässlich von außen bekannt ist. Ab n = 30 liefern beide sehr ähnliche Ergebnisse.
- Wann braucht man die Endlichkeitskorrektur?
- Wenn Sie die Stichprobe ohne Zurücklegen aus einer begrenzten Grundgesamtheit gezogen haben (etwa einer Kundenliste mit 800 Einträgen) und n größer als etwa 5 % von N ist. Der Standardfehler schrumpft dann um √((N−n)/(N−1)), weil Sie bereits einen beträchtlichen Teil der Grundgesamtheit gesehen haben. Bei sehr großer oder unbekannter Grundgesamtheit wird nicht korrigiert.
- Sind zwei überlappende Intervalle ein Zeichen für einen nicht signifikanten Unterschied?
- Nicht immer. Dass sich zwei einzelne Konfidenzintervalle leicht überlappen, schließt einen signifikanten Unterschied nicht aus; der richtige Weg ist der Blick auf das Konfidenzintervall der Differenz selbst. Der Modus „Differenz zweier Mittelwerte“ dieses Werkzeugs liefert genau das: Enthält das Intervall null nicht, ist die Differenz auf diesem Niveau signifikant.
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Lassen Sie uns gemeinsam ermitteln, wie unsicher die Mittelwerte und Anteile in Ihren Produktions-, Vertriebs- oder Felddaten sind und welche Genauigkeit Sie mit welchem Stichprobenumfang erreichen.